三角形の辺の垂直二等分線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形の外心と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において、 辺 $BC$ の中点を $A^{\prime }$ と、 辺 $CA$ の中点を $B^{\prime }$ と、 辺 $AB$ の中点を $C^{\prime }$ とする。 このとき、外心 $O$ は $O{A}^{\prime }\perp BC$ かつ $O{B}^{\prime }\perp CA$ かつ $O{C}^{\prime }\perp AB$ をみたす。 また、これをみたす点は外心 $O$ のみである。

三角形の頂点の座標を $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ とすると、外心の座標 $(x_O,y_O)$ は $$\begin{array}{cc}{x}_O=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x_A}^2+{y_A}^2& y_A& 1\\ {x_B}^2+{y_B}^2& y_B& 1\\ {x_C}^2+{y_C}^2& y_C& 1\end{array}\right|}{2\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}& y_O=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& {x_A}^2+{y_A}^2& 1\\ x_B& {x_B}^2+{y_B}^2& 1\\ x_C& {x_C}^2+{y_C}^2& 1\end{array}\right|}{2\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_O=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x_A}^2+{y_A}^2& y_A& 1\\ {x_B}^2+{y_B}^2& y_B& 1\\ {x_C}^2+{y_C}^2& y_C& 1\end{array}\right|}{2\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\\ y_O=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& {x_A}^2+{y_A}^2& 1\\ x_B& {x_B}^2+{y_B}^2& 1\\ x_C& {x_C}^2+{y_C}^2& 1\end{array}\right|}{2\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\end{array}$$ と表せる。さらに、三角形の辺の長さを $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$ と書くと、 $$\begin{array}{cc}{x}_O=\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)x_A+b^2(c^2+a^2-b^2)x_B+c^2(a^2+b^2-c^2)x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}& y_O=\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)y_A+b^2(c^2+a^2-b^2)y_B+c^2(a^2+b^2-c^2)y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_O=\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)x_A+b^2(c^2+a^2-b^2)x_B+c^2(a^2+b^2-c^2)x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_O=\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)y_A+b^2(c^2+a^2-b^2)y_B+c^2(a^2+b^2-c^2)y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_O=\frac{\lambda x_A+\mu x_B+\nu x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_O=\frac{\lambda y_A+\mu y_B+\nu y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ ただし $$\begin{array}{c}\lambda =a^2(b^2+c^2-a^2)\\ \mu =b^2(c^2+a^2-b^2)\\ \nu =c^2(a^2+b^2-c^2)\end{array}$$ と表せる。 三角形の角の大きさを使うと、 $$\begin{array}{cc}{x}_O=\frac{x_A\sin 2A+x_B\sin 2B+x_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}& y_O=\frac{y_A\sin 2A+y_B\sin 2B+y_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_O=\frac{x_A\sin 2A+x_B\sin 2B+x_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\ y_O=\frac{y_A\sin 2A+y_B\sin 2B+y_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_O=\frac{x_A\sin 2A+x_B\sin 2B+x_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\ y_O=\frac{y_A\sin 2A+y_B\sin 2B+y_C\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\end{array}$$ とも表せる。

三角形の外心は外接円の中心でもある。