外心

（図を準備中）

三角形の辺の垂直二等分線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形の外心と呼ぶ。

三角形の頂点の座標を $(x_{A}, y_{A})$ , $(x_{B}, y_{B})$ , $(x_{C}, y_{C})$ とすると、外心の座標 $(x_{O}, y_{O})$ は $\begin{matrix} x_{O} = \frac{| \begin{matrix} {x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2} & y_{A} & 1 \\ {x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2} & y_{B} & 1 \\ {x_{C}}^{2} + {y_{C}}^{2} & y_{C} & 1 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |} \\ y_{O} = \frac{| \begin{matrix} x_{A} & {x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2} & 1 \\ x_{B} & {x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2} & 1 \\ x_{C} & {x_{C}}^{2} + {y_{C}}^{2} & 1 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |} \end{matrix}$ $\begin{matrix} x_{O} = \frac{| \begin{matrix} {x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2} & y_{A} & 1 \\ {x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2} & y_{B} & 1 \\ {x_{C}}^{2} + {y_{C}}^{2} & y_{C} & 1 \end{matrix} |}{2 | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |} \\ y_{O} = \frac{| \begin{matrix} x_{A} & {x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2} & 1 \\ x_{B} & {x_{B}}^{2} + {y_{B}}^{2} & 1 \\ x_{C} & {x_{C}}^{2} + {y_{C}}^{2} & 1 \end{matrix} |}{2 | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |} \end{matrix}$ と表せる。さらに、三角形の辺の長さを $a = | B C |$ , $b = | C A |$ , $c = | A B |$ と書くと、 $\begin{matrix} x_{O} = \frac{a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x_{A} + b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) x_{B} + c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) x_{C}}{(a + b + c) (b + c - a) (c + a - b) (a + b - c)} \\ y_{O} = \frac{a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) y_{A} + b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) y_{B} + c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) y_{C}}{(a + b + c) (b + c - a) (c + a - b) (a + b - c)} \end{matrix}$ と表せる。

三角形の外心は外接円の中心でもある。