三角形の内接円が辺に接する点とその辺に向かい合う頂点を結ぶ直線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形のジェルゴンヌ点と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において、 内接円と辺 $BC$ の接点を $A^{\prime }$ と、 内接円と辺 $CA$ の接点を $B^{\prime }$ と、 内接円と辺 $AB$ の接点を $C^{\prime }$ とする。 このとき、 直線 $A{A}^{\prime }$ と 直線 $B{B}^{\prime }$ と 直線 $C{C}^{\prime }$ はジェルゴンヌ点$\mathrm{Ge}$で交わる。 （図1）

三角形の頂点の座標を $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ とし、三角形の辺の長さを $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$ と書くと、ジェルゴンヌ点の座標 $(x_{\mathrm{Ge}},y_{\mathrm{Ge}})$ は $$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{Ge}}=\frac{(c+a-b)(a+b-c)x_A+(a+b-c)(b+c-a)x_B+(b+c-a)(c+a-b)x_C}{(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_{\mathrm{Ge}}=\frac{(c+a-b)(a+b-c)y_A+(a+b-c)(b+c-a)y_B+(b+c-a)(c+a-b)y_C}{(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{Ge}}=\frac{\lambda x_A+\mu x_B+\nu x_C}{\lambda +\mu +\nu }& y_{\mathrm{Ge}}=\frac{\lambda y_A+\mu y_B+\nu y_C}{\lambda +\mu +\nu }\end{array}$$ ただし $$\begin{array}{c}\lambda =(c+a-b)(a+b-c)\\ \mu =(a+b-c)(b+c-a)\\ \nu =(b+c-a)(c+a-b)\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{Ge}}=\frac{\lambda x_A+\mu x_B+\nu x_C}{\lambda +\mu +\nu }& y_{\mathrm{Ge}}=\frac{\lambda y_A+\mu y_B+\nu y_C}{\lambda +\mu +\nu }\end{array}$$ ただし $$\begin{array}{c}\lambda =(c+a-b)(a+b-c)\\ \mu =(a+b-c)(b+c-a)\\ \nu =(b+c-a)(c+a-b)\end{array}$$ と表せる。 三角形の角の大きさを使うと、 $$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{Ge}}=\frac{x_A\tan \frac{A}{2}+x_B\tan \frac{B}{2}+x_C\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}}& y_{\mathrm{Ge}}=\frac{y_A\tan \frac{A}{2}+y_B\tan \frac{B}{2}+y_C\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{Ge}}=\frac{x_A\tan \frac{A}{2}+x_B\tan \frac{B}{2}+x_C\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}}\\ y_{\mathrm{Ge}}=\frac{y_A\tan \frac{A}{2}+y_B\tan \frac{B}{2}+y_C\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}}\end{array}$$ とも表せる。