三角形の内角の二等分線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形の内心と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において、内心 $I$ は $|\angle BAI|=|\angle IAC|$ かつ $|\angle CBI|=|\angle IBA|$ かつ $|\angle ACI|=|\angle ICB|$ をみたす（図1）。

三角形の頂点の座標を $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ とし、三角形の辺の長さを $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$ と書くと、内心の座標 $(x_I,y_I)$ は $$\begin{array}{cc}{x}_I=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c}& y_I=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_I=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c}\\ y_I=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}\end{array}$$ と表せる。 三角形の角の大きさを使うと、 $$\begin{array}{cc}{x}_I=\frac{x_A\sin A+x_B\sin B+x_C\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}& y_I=\frac{y_A\sin A+y_B\sin B+y_C\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A\sin A+x_B\sin B+x_C\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\\ y_I=\frac{y_A\sin A+y_B\sin B+y_C\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\end{array}$$ とも表せる。

三角形の内心は内接円の中心でもある（図2）。