三角形の傍接円のどれかが対応する辺に接する点とその辺に向かい合う頂点を結ぶ直線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形のナーゲル点と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において、 $A$外接円と辺 $BC$ の接点を $A_A^{\prime }$ と、 $B$外接円と辺 $CA$ の接点を $B^{\prime }$ と、 $C$外接円と辺 $AB$ の接点を $C^{\prime }$ とする。 このとき、 直線 $A{A}_A^{\prime }$ と 直線 $B{B}_B^{\prime }$ と 直線 $C{C}_C^{\prime }$ はナーゲル点$\mathrm{Na}$で交わる。 （図1）

三角形の頂点の座標を $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ とし、三角形の辺の長さを $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$ と書くと、ナーゲル点の座標 $(x_{\mathrm{Na}},y_{\mathrm{Na}})$ は $$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)x_A+(c+a-b)x_B+(a+b-c)x_C}{a+b+c}& y_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)y_A+(c+a-b)y_B+(a+b-c)y_C}{a+b+c}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)x_A+(c+a-b)x_B+(a+b-c)x_C}{a+b+c}\\ y_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)y_A+(c+a-b)y_B+(a+b-c)y_C}{a+b+c}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)x_A+(c+a-b)x_B+(a+b-c)x_C}{a+b+c}\\ y_{\mathrm{Na}}=\frac{(b+c-a)y_A+(c+a-b)y_B+(a+b-c)y_C}{a+b+c}\end{array}$$ と表せる。 三角形の角の大きさを使うと、 $$\begin{array}{cc}{x}_{\mathrm{Na}}=\frac{x_A\cot \frac{A}{2}+x_B\cot \frac{B}{2}+x_C\cot \frac{C}{2}}{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}& y_{\mathrm{Na}}=\frac{y_A\cot \frac{A}{2}+y_B\cot \frac{B}{2}+y_C\cot \frac{C}{2}}{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{Na}}=\frac{x_A\cot \frac{A}{2}+x_B\cot \frac{B}{2}+x_C\cot \frac{C}{2}}{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}\\ y_{\mathrm{Na}}=\frac{y_A\cot \frac{A}{2}+y_B\cot \frac{B}{2}+y_C\cot \frac{C}{2}}{\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}}\end{array}$$ とも表せる。