三角形の頂点から対辺におろした垂線は三本あるが、それらは一点で交わる。交点を三角形の垂心と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において、 垂心 $H$ は $HA\perp BC$ かつ $HB\perp CA$ かつ $HC\perp AB$ をみたす。 また、これをみたす点は垂心 $H$ のみである。 （図1）

三角形の頂点の座標を $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ とすると、垂心の座標 $(x_H,y_H)$ は $$\begin{array}{cc}{x}_H=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_B{x}_C+y_B{y}_C& y_B+y_C& 1\\ x_C{x}_A+y_C{y}_A& y_C+y_A& 1\\ x_A{x}_B+y_A{y}_B& y_A+y_B& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}& y_H=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_B+x_C& x_B{x}_C+y_B{y}_C& 1\\ x_C+x_A& x_C{x}_A+y_C{y}_A& 1\\ x_A+x_B& x_A{x}_B+y_A{y}_B& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_B{x}_C+y_B{y}_C& y_B+y_C& 1\\ x_C{x}_A+y_C{y}_A& y_C+y_A& 1\\ x_A{x}_B+y_A{y}_B& y_A+y_B& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\\ y_H=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_B+x_C& x_B{x}_C+y_B{y}_C& 1\\ x_C+x_A& x_C{x}_A+y_C{y}_A& 1\\ x_A+x_B& x_A{x}_B+y_A{y}_B& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|}\end{array}$$ と表せる。さらに、三角形の辺の長さを $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$ と書くと、 $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x_A+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)x_B+(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_H=\frac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)y_A+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)y_B+(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{\lambda x_A+\mu x_B+\nu x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_H=\frac{\lambda y_A+\mu y_B+\nu y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ ただし、 $$\begin{array}{c}\lambda =(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\\ \mu =(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\\ \nu =(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{\lambda x_A+\mu x_B+\nu x_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\\ y_H=\frac{\lambda y_A+\mu y_B+\nu y_C}{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\end{array}$$ ただし、 $$\begin{array}{c}\lambda =(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\\ \mu =(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\\ \nu =(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)\end{array}$$ と表せる。 三角形の角の大きさを使うと、 $$\begin{array}{cc}{x}_H=\frac{x_A\tan A+x_B\tan B+x_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}& y_H=\frac{y_A\tan A+y_B\tan B+y_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{x_A\tan A+x_B\tan B+x_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\\ y_H=\frac{y_A\tan A+y_B\tan B+y_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_H=\frac{x_A\tan A+x_B\tan B+x_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\\ y_H=\frac{y_A\tan A+y_B\tan B+y_C\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\end{array}$$ とも表せる。

三角形の垂心は反中点三角形の外心である。 ここで、三角形 $ABC$ の反中点三角形とは、頂点 $A$ を通り辺 $BC$ に平行な直線と、頂点 $B$ を通り辺 $CA$ に平行な直線と、頂点 $A$ を通り辺 $AB$ に平行な直線がなす三角形である。 （図2）